Matematická olympiáda
MATEMATICKA OLYMPIADA
pro žáky
základnich škol a nižšich ročniků viceletych gymnazii
64. ROČNIK, 2014/2015
Mili mladi přatele,
mate radi zajimave matematicke ulohy a chtěli byste si v jejich řešeni
zasoutěžit? Jestliže ano, zveme vas k učasti v matematicke olympiadě
(MO). Soutěž je dobrovolna a nesouvisi s klasifikaci z matematiky.
Mohou se ji zučastnit žaci 5. až 9. ročniků zakladnich škol a žaci jim
odpovidajicich ročniků viceletych gymnazii vždy ve svych kategoriich.
Se souhlasem sveho učitele matematiky můžete soutěžit i v některe
kategorii určene pro vyšši ročnik nebo v některe kategorii A, B, C, P, ktere
jsou určeny pro studenty střednich škol. Soutěžni ulohy pro kategorie A,
B, C, P jsou uveřejněny v letaku Matematicka olympiada na střednich
školach.
Průběh soutěže
Soutěž v jednotlivych kategoriich probiha ve dvou nebo ve třech kolech.
Kategorie Z9 ma školni, okresni a krajske kolo.
Kategorie Z8, Z7, Z6 a Z5 maji školni a okresni kolo.
Školni kolo: V tomto vstupnim kole soutěže, organizovanem na školach,
řeši žaci ve svem volnem čase (doma) šest uloh.
Do soutěže budou zařazeni žaci, kteři odevzdaji svym učitelům
matematiky řešeni alespoň čtyř uloh. Všem soutěžicim však doporučujeme,
aby se snažili vyřešit všechny ulohy, protože v dalšim průběhu soutěže
mohou byt zadany podobne ulohy.
Řešeni uloh odevzdavejte svym učitelům matematiky v těchto terminech:
Kategorie Z5, Z9: prvni trojici uloh do 24. listopadu 2014 a druhou
trojici uloh do 5. ledna 2015.
Kategorie Z6 až Z8: prvni trojici uloh do 5. ledna 2015 a druhou trojici
uloh do 18. března 2015.
Vaši učitele ulohy opravi a ohodnoti podle stupnice 1 – vyborně, 2 –
dobře, 3 – nevyhovuje. Pak je s vami rozeberou, vysvětli vam připadne
nedostatky a seznami vas se spravnym, popřipadě i jinym řešenim. Uspěšnymi
řešiteli školniho kola se stanou ti soutěžici, kteři budou mit alespoň
u čtyř uloh řešeni hodnocena vyborně nebo dobře.
Prace všech uspěšnych řešitelů kategorii Z6 až Z9 zašle vaše škola
okresni komisi MO. Ta z nich vybere nejlepši řešitele a pozve je k učasti
v okresnim kole soutěže. Vyběr učastniků v kategorii Z5 provaději po
dohodě s okresni komisi MO školy, ktere okresni kolo pořadaji (viz niže).
Okresni kolo se uskutečni
pro kategorii Z9 21. ledna 2015,
pro kategorii Z6 až Z8 8. dubna 2015,
pro kategorii Z5 21. ledna 2015.
Okresni kolo pro kategorie Z6 až Z9 se pořada zpravidla v okresnim
městě, v kategorii Z5 okresni kolo probiha na několika školach okresu
pověřenych pořadanim.
Žaci pozvani do okresniho kola kategorie Z9 budou řešit samostatně
v průběhu 4 hodin 4 soutěžni ulohy. Pozvani žaci kategorii Z6 až Z8 budou
samostatně řešit 3 ulohy v průběhu 2 hodin. Pozvani žaci kategorie Z5
budou samostatně řešit 3 ulohy v průběhu 90 minut.
Ve všech kategoriich se řešeni uloh oboduji a podle součtu ziskanych
bodů se sestavi pořadi učastniků okresniho kola. Učastnici, kteři ziskaji
předepsany počet bodů (zpravidla aspoň polovinu z dosažitelnych bodů),
se stanou uspěšnymi řešiteli okresniho kola a nejlepši z nich budou odměněni.
Krajske kolo pro kategorii Z9 se bude konat 18. března 2015 v některem
městě vašeho kraje. Průběh soutěže a jeji vyhodnoceni je stejne jako
při okresnim kole. Nejlepši učastnici krajskeho kola jsou vyhlašeni jeho
vitězi.
Matematickou olympiadu pořadaji Ministerstvo školstvi, mladeže a
tělovychovy, Jednota českych matematiků a fyziků a Matematicky ustav
Akademie věd Česke republiky. Soutěž organizuje ustředni komise MO,
v krajich ji řidi krajske komise MO při pobočkach JČMF a v okresech
okresni komise MO. Na jednotlivych školach ji zajišťuji pověřeni učitele
matematiky. Vy se obracejte na sveho učitele matematiky.
Pokyny a rady soutěžicim
Řešeni soutěžnich uloh vypracujte čitelně na listy formatu A4. Každou
ulohu začněte na novem listě a uveďte vlevo nahoře zahlavi podle vzoru:
Karel Vesely
8. B
ZŠ, Kulate nam. 9, 629 79 Lužany
okres Znojmo
2014/2015
Uloha Z8–I–3
Řešeni pište tak, aby bylo možno sledovat vaš myšlenkovy postup,
podrobně vysvětlete, jak jste uvažovali. Uvědomte si, že se hodnoti nejen
vysledek, ke kteremu jste došli, ale hlavně spravnost uvah, ktere k němu
vedly.
Prace, ktere nebudou splňovat tyto podminky nebo nebudou odevzdany
ve stanovenem terminu, nebudou do soutěže přijaty.
Na ukazku uvedeme řešeni ulohy z II. kola kategorie Z8 z jednoho
z předchazejicich ročniků MO:
Uloha Z8–II-1. Je dan obdelnik s celočiselnymi delkami stran. Jestliže
zvětšime jednu jeho stranu o 4 a druhou zmenšime o 5, dostaneme obdelnik
s dvojnasobnym obsahem. Určete strany daneho obdelniku. Najděte
všechny možnosti.
Řešeni. Delky stran obdelniku označime a, b. Novy obdelnik ma delky
stran a+4, b−5. Podle podminky ulohy pro obsahy obou obdelniků plati
2ab = (a + 4)(b − 5).
Postupně upravime:
(Odečteme 20,
abychom levou
stranu mohli
rozložit na součin.)
ab − 4b + 5a = −20
ab − 4b + 5a − 20 = −40
(a − 4)(b + 5) = −40
Řešeni najdeme rozkladem čisla −40 na 2 činitele. Přitom musi byt a > 0,
b > 0, a tedy a − 4 > −4, b + 5 > 5. Jsou dvě možnosti:
(−2) E 20 = −40 a (−1) E 40 = −40.
V prvnim připadě dostaneme obdelnik o stranach a = 2, b = 15 s obsahem
S = 30. Novy obdelnik pak ma strany a′ = 6, b′ = 10 a obsah S′ = 60,
tj. S′ = 2S.
V druhem připadě dostaneme obdelnik o stranach a = 3, b = 35
s obsahem S = 105. Novy obdelnik pak ma strany a′ = 7, b′ = 30 a obsah
S′ = 210. Opět je S′ = 2S.